Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁，E、F分别是棱BC、CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA₁ C₁C；
（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC₁，试确定点D的位置，并说明理由；
（Ⅲ）证明：EF⊥A₁C．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由线面垂直得A₁A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A₁CC₁．
（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．
（III）由已知条件推导出A₁C⊥AC₁，AB⊥A₁C，从而得到A₁C⊥面ABC₁，由此能证明EF⊥AC₁．

解答： （I）证明：∵AA₁⊥底面ABC，∴A₁A⊥AB，（2分）
∵AB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴AB⊥面A₁CC₁．（4分）
（II）解：∵面DEF∥面ABC₁，面ABC∩面DEF=DE，
面ABC∩面ABC₁=AB，
∴AB∥DE，（7分）
∵在△ABC中，E是棱BC的中点，
∴D是线段AC的中点．（8分）
（III）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AC，
∴侧面A₁ACC₁是菱形，
∴A₁C⊥AC₁，（9分）
由（Ⅰ）得AB⊥A₁C，
∵AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥面ABC₁，（11分）
∴A₁C⊥BC₁．（12分）
又∵E，F分别为棱BC，CC₁的中点，
∴EF∥BC₁，（13分）
∴EF⊥AC₁．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．