Question

已知

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ 和cosθ的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+2sinx的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用向量垂直，数量积为0，得到sinθ和cosθ的关系式，结合平方关系；
（2）将f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，结合sinx的有界性以及二次函数闭区间的最值求法解答．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，所以

a

•

b

=0，即sinθ=2cosθ，
代入sin²θ+cos²θ=1 得sinθ=±

2 5

5

，cosθ=±

5

5

，
又θ∈（0，

π

2

）．
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ

5

5

．
（2）f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

，
x∈R，∴sinx∈[-1，1]，当sinx=

1

2

，f（x） 有最大值

3

2

；当sinx=-1，f（x） 有最小值-3．所以，值域为[-3，

3

2

]．

点评：本题考查了向量垂直的运用以及三角函数与二次函数相结合的最值求法问题；关键是利用正弦函数的有界性以及二次函数闭区间的最值解答．