Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*且n＞1，若λ≥S_n+1-4S_n恒成立，则实数λ的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n=4^n-1+n，S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，S_n+1=

4n+1-1

3

+

(n+2)(n+1)

2

，从而S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4），n=1，最大值为0．由此能求出实数λ的取值范围．

解答： 解：由题设a _n+1=4a_n-3n+1，得
a _n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N*．
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
a_n-n=4 ^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，
S_n+1=

4n+1-1

3

+

(n+2)(n+1)

2

∴S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4），
∴n=1，最大值为0．
∵λ≥S_n+1-4S_n恒成立，
∴λ≥0，
∴实数λ的取值范围为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．