Question

已知抛物线y²=2px与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有相同的焦点F，P是两曲线的公共点，若|PF|=

5

6

p，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线y²=2px与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有相同的焦点F，可得

p

2

=c．再利用|PF|=

5

6

p=

b2

a

，及a²=b²+c²，e=

c

a

即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵抛物线y²=2px与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有相同的焦点F，
∴

p

2

=c．
∵|PF|=

5

6

p=

b2

a

，
∴

5

3

c=

b2

a

，
∴5ac=3（a²-c²），
化为3e²+5e-3=0，又0＜e＜1．
∴e=

-5+ 61

6

．
故答案为：

61 -5

6

．

点评：本题考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．