Question

已知函数f（x）=2cos²x-sin（π+2x）-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换，化简f（x）的解析式为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函数的周期．
（Ⅱ）根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos²x-sin（π+2x）-1=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∴函数的周期为T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴当2x+

π

4

=

5π

4

时，函数f（x）取得最小值为-1，当2x+

π

4

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．