Question

6．抛物线 M：y²=2px（p＞0）与椭圆 $N：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$有相同的焦点F，抛物线M与 椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 由题意可知：AF⊥x轴，$\frac{p}{2}$=c，代入抛物线方程即可求得A点坐标，代入椭圆方程，利用离心率公式即可求得椭圆N的离心率．

解答 解：如图所示由F，A，B共线，
则AF⊥x轴，
由抛物线 M：y²=2px（p＞0）与椭圆 $N：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$有相同的焦点F，
∴$\frac{p}{2}$=c，
把x=$\frac{p}{2}$，代入抛物线方程可得：y²=2p•$\frac{p}{2}$，解得：y=p．
∴A（$\frac{p}{2}$，p），即A（c，2c）．
代入椭圆的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
又b²=a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，
整理得：e⁴-6e²+1=0，0＜e＜1．
解得：e²=3-2$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的离心率公式，考查数形结合思想，属于中档题．