Question

18．已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作倾斜角为60°的直线l，直线l与双曲线交于A，与y轴交于点B，且$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FB}$，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

Answer 1

分析 求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），令x=0，可得B的坐标，由向量共线的坐标表示，可得A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式及取值范围，计算即可得到双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F为（-c，0），
直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），
令x=0，则y=$\sqrt{3}$c，
即B（0，$\sqrt{3}$c），设A（m，n），
由$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FB}$，可得（m+c，n）=$\frac{1}{2}$（c，$\sqrt{3}$c），
即有m=-$\frac{1}{2}$c，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c．
即A（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入双曲线方程，可得$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由于e=$\frac{c}{a}$（e＞1），则e²-3•$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=4，
化简可得e⁴-8e²+4=0，
解得：e²=4±2$\sqrt{3}$，
由e＞1，解得：e=$\sqrt{3}$+1，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查求曲线的离心率的问题，同时考查向量共线的坐标表示，属于中档题．