Question

11．已知a为实数，f（x）=-x³+3ax²+（2a+7）x．
（1）若f'（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（-1）=0，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）根据f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都递减，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=-3x²+6ax+2a+7．
（1）f′（-1）=-4a+4=0，所以a=1．…（2分）
f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），
当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当-1＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（-2）=2，f（-1）=-5，f（2）=22，
故f（x）在[-2，2]上的最大值为22，最小值为-5．…（6分）
（2）由题意得x∈（-∞，-2]∪[3，+∞）时，f′（x）≤0成立，…（7分）
由f′（x）=0可知，判别式△＞0，所以
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤3}\\{f′（-2）≤0}\\{f′（3）≤0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤1．
所以a的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，1]．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．