Question

15．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx．
（1）当a=b=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[$\frac{1}{e}$，+∞）内有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；
（2）问题转化为只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有两个实数解，令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），求出g（x）的最值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）当a=b=$\frac{1}{2}$时，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{2x}$，
易知f（x）在（0，1]上递增，在[1，+∞）上递减，
故f（x）的最大值为f（1）=-$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）当a=0，b=-1时，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx，得lnx+x=mx，
又x＞0，于是m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在区间[$\frac{1}{e}$，+∞）内有两个不同的实数解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$区间[$\frac{1}{e}$，+∞）内有两个不同的实数解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），于是g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
于是g（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上是增函数，在区间[e，+∞）上是减函数，
g（$\frac{1}{e}$）=1-e，g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
故1-e≤m＜1+$\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的单调性、最值问题，属于中档题．