Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PA=ED=2AE=2．
（I）若$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$（λ∈R），且PA∥平面BEF，求λ的值；
（Ⅱ）求证：CB⊥平面PEB．

Answer 1

分析 （I）连接AC交BE于点M，连接FM，由已知得FM∥AP，由EM∥CD，FM∥AP，能求出λ．
（II）先求出$PE=\sqrt{3}$，从而PE⊥AD，进而PE⊥CB，BE⊥CB，由此能证明CB⊥平面PEB．

解答 解：（I）连接AC交BE于点M，连接FM，
因为PA∥平面BEF，平面PAC∩平面BEF=FM，所以FM∥AP．
因为EM∥CD，所以$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$
因为FM∥AP，所以$\frac{PF}{FC}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}$
所以$λ=\frac{1}{3}$．…（6分）
证明：（II）因为AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
所以$PE=\sqrt{3}$，所以PE⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥平面ABCD，
所以PE⊥CB，又BE⊥CB，且PE∩BE=E．
所以CB⊥平面PEB．…（13分）

点评 本题考查实数值的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．