Question

10．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 第一问，利用平方关系消参，得到曲线C的普通方程，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ转化，得到直线l的直角坐标方程；第二问，利用点到直线的距离公式列出表达式，再利用两角和的正弦公式化简，求三角函数的最值即可得到结论．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去θ可得曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．即$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=2\sqrt{2}$
直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）设点P坐标为（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$2\sqrt{2}-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{3}）$$≤3\sqrt{2}$．
所以点P到直线l距离的最大值为$3\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．