Question

设f（x）=e^xsinx函数．
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据各段内导函数的符号得原函数的单调区间；
（2）由导数求出函数f（x）=e^xsinx在（0，π）内的极值，比较端点处的函数值后得函数f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=

2

e^xsin（x+

π

4

）．
由f′（x）≥0，得：sin（x+

π

4

）≥0，
∴2kπ≤x+

π

4

≤2kπ+π，即2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

．
∴f（x）的单调增区间为：[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]．
（2）∵x∈[0，π]，
由（1）知，x∈[0，

3π

4

]是单调增区间，x∈[

3π

4

，π]是单调减区间，
又f(0)=0，f(π)=0，f(

3

4

π)=

2

2

e

3

4

π，
所以fmax=f(

3π

4

)=

2

2

e

3π

4

，f_min=f（0）=f（π）=0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．