Question

已知数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n=

(n-2)3 n3 an-2(n=2k+1，k∈N+) 2an-2+1(n=2k，k≥2，k∈N+)

，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：S_n＜2

n

2

+1-

n

2

-

3

8

．

Answer 1

考点：数列的应用,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）用列举方法，递推可得到答案．
（2）求出前n 项和，分类讨论，放缩求解．

解答： 解（1）：数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n=

(n-2)3 n3 an-2(n=2k+1，k∈N+) 2an-2+1(n=2k，k≥2，k∈N+)

，
a₃=

1

33

，a₄=2²-1，a₅=

1

53

，a₆=2³-1，a₇=

1

73

，a₈=2⁴-1
{a_n}的通项公式为a_n=

1 n3 ，n为奇数 2 n 2 -1，n为偶数

（2）当n为偶数时，S_n=（a₁+a₃+a₅+a₇+…+a_n-1）+（a₂+a₄+a₆+a₈+…+a_n）
=（1+

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

）+（2-1+2²-1+2³-1+…+2 

n

2

-1）
=（1+

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

）+（2 

n

2

+1-

n

2

-2）
要证S_n＜2

n

2

+1-

n

2

-

3

8

．只需证1+

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

＜

13

8

，
即

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

＜

5

8

即

1

33

＜

1

4×5

，

1

53

＜

1

5×6

，

1

73

＜

1

6×7

，

1

(n-1)3

＜

1

(n-1)n

裂项再相加得即

1

33

+

1

53

+

1

73

+…+

1

(n-1)3

＜

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n

=

1

4

-

1

n

＜

1

4

＜

5

8

不等式S_n＜2

n

2

+1-

n

2

-

3

8

成立

点评：本题综合考查了数列中思想方法，代数式的变换能力．