Question

过点P（-2，-3）作圆（x-4）²+（y-2）²=9的两条切线，切点分别为A、B，求：
（1）切线PA、PB所在直线的方程；
（2）经过圆心C，切点A、B这三点圆的方程；
（3）直线AB的方程；
（4）线段AB的长．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线的一般式方程,两点间的距离公式,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）当切线斜率不存在时，x=-2不成立，当切线斜率存在时，设切线方程为y+3=k（x+2），由圆心C（4，2）到切线的距离等于半径r=3，能求出PA、PB所在的直线方程．
（2）连结CA、CB．由平面几何知，CA⊥PA，CB⊥PB．这些点P、A、C、B共圆，且CP为直径．这也是过三点A、B、C的圆．由此能求出圆的方程．
（3）直线AB即为这两个圆的公共弦所在直线．由此能求出直线AB的方程．
（3）设AB、PC交于点Q，分别求出|PQ|，|CQ|，由平面几何能求出线段AB的长．

解答： 解：（1）当切线斜率不存在时，x=-2不成立．
当切线斜率存在时，设切线方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0，
圆心C（4，2）到切线的距离等于半径r=3，
∴

|4k-2+2k-3|

k2+1

=3，
解得k=

10±2 13

9

，
PA、PB所在的直线方程为y+3=

10±2 13

9

（x+2）．
（2）如图所示，连结CA、CB．由平面几何知，
CA⊥PA，CB⊥PB．这些点P、A、C、B共圆，且CP为直径．
这也是过三点A、B、C的圆．∵P（-2，-3），圆心坐标为C（4，2），?
∴所求圆的方程为（x+2）（x-4）+（y+3）（ y-2）=0，即x²+y²-2x+y-14=0．
（3）直线AB即为这两个圆的公共弦所在直线．
由x²+y²-2x+y-14=0与（x-4）²+（y-2）²=9相减，
得6x+5y-25=0．
（3）设AB、PC交于点Q，
则|PQ|=

|6•(-2)+5•(-3)-25|

36+25

=

52

61

，
|CQ|=

|6×4+5×2-25|

36+25

=

9

61

．
在Rt△PCA中，因为AQ⊥PC，由平面几何知|AQ|²=

52

61

•

9

61

=

468

61

．
|AB|=2|AQ|=2

468 61

=

12

61

=

793

．

点评：本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．