Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$与2的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1．n≥2时，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+1}{n}$=2^n-1-1.$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2^n-1．可得：a_n=（n+1）2^n-1-1．当n=1时，验证即可得出．
（2）n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＜2．n=2时，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$=1+$\frac{2}{5}$＜2．n≥3时，$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）•{2}^{n-1}-1}$≤$\frac{n}{n•{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1．
n≥2时，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+1}{n}$=2^n-1-1．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1．
∴a_n+1=（n+1）2^n-1，可得：a_n=（n+1）2^n-1-1．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=（n+1）2^n-1-1．
（2）n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＜2．
n=2时，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$=1+$\frac{2}{5}$＜2．
n≥3时，$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）•{2}^{n-1}-1}$≤$\frac{n}{n•{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$≤1+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=1+$\frac{2}{5}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜1+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{2}$＜2．
综上可得：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$＜2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、求和公式、不等式的性质、放缩法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．