Question

7．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，设过抛物线上一点P处的切线为l₁，过点F且垂直于PF的直线为l₂，则l₁与l₂交点Q的横坐标为（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$
• B． -1
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． 不能确定

Answer 1

分析 不妨取P在第一象限，求出l₁与l₂方程，然后求解l₁与l₂交点Q的横坐标．

解答 解：因为抛物线关于x轴对称，抛物线的焦点F坐标（1，0）．
不妨取P在第一象限，设P（a，2$\sqrt{a}$），y=2${x}^{\frac{1}{2}}$，可得y′=${x}^{-\frac{1}{2}}$，曲线的斜率为：${a}^{-\frac{1}{2}}$，
P处的切线为l₁的方程为：y-2$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$（x-a），
直线PF的斜率为：$\frac{2\sqrt{a}}{a-1}$，
直线l₂的方程为：y=$\frac{1-a}{2\sqrt{a}}$（x-1）．
$\left\{\begin{array}{l}{y-2\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}（x-a）}\\{y=\frac{1-a}{2\sqrt{a}}（x-1）}\end{array}\right.$，
消去y可得：$\frac{1-a}{2\sqrt{a}}（x-1）-2\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}（x-a）$，
化简可得：（1+a）x=-a-1，
解得x=-1．
则l₁与l₂交点Q的横坐标为：-1．
故选：B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，曲线的切线方程的求法，考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．