Question

16．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-sinx-$\frac{1}{4}$，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤0的解集；
（2）讨论函数f（x）在[0，2π]的单调性．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）≤0化简为$-\frac{1}{2}≤sinx≤1$，再利用正弦函数的图象和性质，求得x的范围．
（2）利用正弦函数的图象和性质、复合函数的单调性规律，求得函数f（x）在[0，2π]的单调性．

解答 解：（1）把不等式f（x）≤0化简，可得${sin^2}x-sinx-\frac{3}{4}≤0$，解得$-\frac{1}{2}≤sinx≤1$，
即不等式的解集为 $\left\{{x\left|{2kπ-\frac{π}{6}≤x≤2kπ+\frac{7π}{6}，k∈Z}\right.}\right\}$．
（2）化简函数的解析式，可得$f（x）={（sinx-\frac{1}{2}）^2}-1$，由于sinx∈[-1，1]，
令t=sinx，则t∈[-1，1]，f（x）=g（t）=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-1．
当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，函数t∈[0，$\frac{1}{2}$]，且t单调递增，g（t）单调递减，故f（x）单调递减；
当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，函数t∈（$\frac{1}{2}$，1），且t单调递增，g（t）单调递增，故f（x）单调递增；
当x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]时，t∈[$\frac{1}{2}$，1]，且函数t单调递减，g（t）单调递增，故f（x）单调递减；
当x∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$）时，t∈[-1，$\frac{1}{2}$），且函数t单调递减，g（t）单调递减，故f（x）单调递增；
当x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]时，t∈[-1，0]，函数t单调递增，g（t）单调递减，故f（x）单调递减，
故f（x）的单调递增区间是：（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）、∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$）．
故f（x）的单调递减区间是：[0，$\frac{π}{6}$]、∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]、[$\frac{3π}{2}$，2π]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，复合函数的单调性，属于中档题．