题目内容

4．已知椭圆C的焦点是${F_1}（-2\sqrt{2}，0），{F_2}（2\sqrt{2}，0）$，其上的动点P满足$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4\sqrt{3}$．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试探究：无论k取何值时，$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$是否恒为定值．是求出定值，不是说明理由．

分析 （Ⅰ）由题意设出椭圆方程，由已知求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出直线l2的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到M，N两点横坐标的和与积，由向量数量积的坐标表示求得$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$恒为定值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵椭圆上的动点P满足$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4\sqrt{3}$，
∴2a=4$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$．
又c=2$\sqrt{2}$，∴a2=12，b2=a2-c2=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）设l2：y=kx+1，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，
消去y得（1+3k2）x2+6kx-9=0，
又∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．
设M （x1，kx1+1），N（x2，x2+1），
则x1+x2=-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，x1x2=-$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
易知R（0，-2），$\overrightarrow{RM}$=（x1，kx1+3），$\overrightarrow{RN}$=（x2，kx2+3），
∴$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=x1x2+（kx1+3）（kx2+3）=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9
=（1+k2）•（-$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$）+3k•（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$）+9=0，与k无关．
则无论k取何值时，$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$恒为定值0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线间的关系，注意运用联立方程组，运用韦达定理，考查平面向量数量积的坐标表示，化简整理的运算能力，是中档题．

练习册系列答案
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频数341315105
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（2）为了进一步了解这些参考人员的得分情况，再从分数在[65，75）的参考人员A，B，C中选出2位，从分数在[115，150）中的参考人员D，E，F，G，H中选出1位进行研究，求A和D同时被选到的概率．
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