Question

已知定义在R上的函数f（x）=x|x-a|，下列说法中，描述完全正确的个数为（　　）
①无论a取何实数，函数f（x）的图象均过原点；
②当a＞2时，函数f（x）在区间（-∞，2]上的解析式为f（x）=-x²+ax；
③当a=1时，函数f（x）有最大值

1

4

；
④当a=2时，若函数y=f（x）-m有3个不同的零点，则0＜m＜1．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：代入特殊点验证①，比较a与x的大小可去掉绝对值符号来判断②，
考虑函数的单调性可判断③，化为分段函数画函数的图象可判断④．

解答： 解：①、∵f（0）=0×|0-a|=0，故函数f（x）的图象过原点，正确；
②、∵x∈（-∞，2]上，∴x＜2，而a＞2时，∴x＜a，因此函数f（x）=x（a-x）=-x²+ax，正确；
③、当a=1时，函数f（x）=x|x-1|，当x＞1时，f（x）=x（x-1）=x²-x在区间（1，+∞）递增，无最大值，错误；
④、当a=1时，函数f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，图象如下图：

当0＜m＜1时，函数y=m与函数y=x|x-2|有3个交点，则函数y=f（x）-m有3个不同的零点，所以④正确．
综上①②④正确，
故选：D．

点评：本题考查函数的单调性及函数零点的判断，同时考查分段函数的性质，注意，带有绝对值符号的函数常化为分段函数．