Question

7．如图，过点A（6，4）作曲线f（x）=$\sqrt{4x-8}$的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）求切线l、x轴及曲线f（x）=$\sqrt{4x-8}$所围成的封闭图形的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程即可；
（2）根据定积分的几何意义求出面积．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{4}{2\sqrt{4x-8}}$=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$，
∴切线l的斜率k=f′（6）=$\frac{1}{2}$，
∴切线l的方程为y-4=$\frac{1}{2}$（x-6），即x-2y+2=0．
（2）l令f（x）=0得x=2，
把y=0代入x-2y+2=0得x=-2，
∴封闭图形的面积S=${∫}_{-2}^{6}$（$\frac{1}{2}$x+1）dx-${∫}_{2}^{6}$$\sqrt{4x-8}$dx=（$\frac{1}{4}$x²+x）${|}_{-2}^{6}$-$\frac{1}{6}$（4x-8）${\;}^{\frac{3}{2}}$${|}_{2}^{6}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，定积分的几何意义，属于中档题．