Question

15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+$\frac{5}{4}$}是等比数列．

Answer 1

分析 设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d，则a-d+a+a+d=15，解得a=5．根据这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．可得（5+5）²=（5-d+2）（5+d+13），解得：d=2．可得b₁与公比q．l利用求和公式可得S_n，即可证明．

解答 证明：设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d，则a-d+a+a+d=15，解得a=5．
∵这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．
∴（5+5）²=（5-d+2）（5+d+13），解得：d=-13（舍去），或2．
∴d=2时，b₃=5，b₄=10，b₅=20．可得公比q=$\frac{10}{5}$=2．
${b}_{1}×{2}^{2}$=5，解得b₁=$\frac{5}{4}$．
∴S_n=$\frac{\frac{5}{4}（{2}^{n}-1）}{2-1}$=5×2^n-2-$\frac{5}{4}$，
∴S_n+$\frac{5}{4}$=5×2^n-2，
∴数列{S_n+$\frac{5}{4}$}是等比数列，公比为2，首项为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．