Question

10．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，

其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=$\frac{8}{4+{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等．
（1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；
（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中M_P的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

Answer 1

分析 （1）设出方程，利用B为衔接点，即可求出曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；
（2）分类讨论，求最值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意A为抛物线的顶点，设A（a，0）（a＜-2），则可设方程为y=λ（x-a）²（a≤x≤-2，λ＞0），y′=2λ（x-a）．
曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=$\frac{8}{4+{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），
y′=$\frac{-16x}{（4+{x}^{2}）^{2}}$，且B（-2，1），则曲线在B处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ（-2-a）^{2}=1}\\{2λ（-2-a）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a=-6，λ=$\frac{1}{16}$，
∴曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y=$\frac{1}{16}（x+6）^{2}$（-6≤x≤-2）；
（2）设P为曲线段AC上任意一点．
①P在曲线段AB上，则通过该点所需要的爬坡能力（M_P）₁=$（-x）•\frac{1}{8}（x+6）$=$-\frac{1}{8}[（x+3）^{2}-9]$，
在[-6，-3]上为增函数，[-3，-2]上是减函数，最大为$\frac{9}{8}$米；
②P在曲线段BC上，则通过该点所需要的爬坡能力（M_P）₂=$（-x）•\frac{-16x}{（4+{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{16{x}^{2}}{（4+{x}^{2}）^{2}}$（x∈[-2，0]），
设t=x²，t∈[0，4]，（M_P）₂=y=$\frac{16t}{（4+t）^{2}}$．
t=0，y=0；0＜t≤4，y=$\frac{16}{\frac{16}{t}+t+8}$≤1（t=4取等号），此时最大为1米．
由上可得，最大爬坡能力为$\frac{9}{8}$米；
∵0.8＜$\frac{9}{8}$＜1.5＜2，
∴游客踏乘不能顺利通过该桥；蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．