Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂=-1，S₅=5，数列{b_n}前n项和为T_n，并且满足：b_n=（a_n+2）cos$\frac{（{a}_{n}+2）π}{2}$$+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$，则T₂₀₁₆$+\frac{2016}{4031}$=1008．

Answer 1

分析 利用等差数列{a_n}的前n项和公式列出方程组，求出首英和公差，从而求出a_n=n-2，进而得b_n=ncos$\frac{nπ}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$），由此求出数列{b_n}前n项和，进而能求出T₂₀₁₆$+\frac{2016}{4031}$的值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂=-1，S₅=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+\frac{2×1}{2}d=-1}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=1，∴a_n=-1+（n-1）=n-2，
∴b_n=（a_n+2）cos$\frac{（{a}_{n}+2）π}{2}$$+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=ncos$\frac{nπ}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$），
∴数列{b_n}前n项和：
T_n=（-2+4-6+8-10+…-2014+2016）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{-1}-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{4029}-\frac{1}{4031}$）
=504×2+$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{4031}$）
=1008-$\frac{2016}{4031}$，
∴T₂₀₁₆$+\frac{2016}{4031}$=1008．
故答案为：1008．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．