Question

20．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P₁，P₂分别为曲线C₁、C₂上的两个动点，求线段P₁P₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosα，sinα，根据cos²α+sin²α=1得出曲线C₁的普通方程，利用和角公式将ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展开，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求出P₁到直线C₂的距离d，利用三角函数的性质得出d的最小值即线段P₁P₂的最小值．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），∴cosα=$\frac{x}{2}$，sinα=$\frac{y}{\sqrt{2}}$，
∵cos²α+sin²α=1，∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．即曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
∵曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=3$\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=6，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y-6=0．
（2）设P₁（2cosα，$\sqrt{2}$sinα），则P₁到直线C₂的距离d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{2}sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{6}sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（θ+φ）=1时，d取得最小值$\frac{6-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．
∴线段P₁P₂的最小值为3$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的转化，距离公式的应用，三角函数的性质，属于中档题．