Question

8．已知数列{ a_n}满足a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可
（2）用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 解：（1）由a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$（n∈N^*），a₂=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=$\frac{1}{2-a}$，a₃=$\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}$=$\frac{2-a}{3-2a}$，a₄=$\frac{1}{1-\frac{2-a}{3-2a}}$=$\frac{3-2a}{4-3a}$
（2）猜想a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$，n∈N*，
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a₁=a，右边=$\frac{1-1-（1-2）a}{1-（1-1）a}$，猜想成立．
②假设n=k时猜想成立，即a_k=$\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}$，
当n=k+1时，a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}}$=$\frac{k-（k-1）a}{2[k-（k-1）a]-[（k-1）-（k-2）a]}$=$\frac{k-（k-1）a}{（k+1）-[（k+1）-a]a}$，
故当n=k+1时，猜想也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*，a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$，都有成立．

点评 本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力