Question

20．在平面四边形ABCD中，已知AB=CD=2，AD=1，BC=3，且∠BAD+∠BCD=180°，则△ABC的外接圆的面积为（　　）

• A． $\frac{13}{4}π$
• B． $\frac{9}{4}π$
• C． $\frac{5}{4}π$
• D． $\frac{7}{3}π$

Answer 1

分析 首先求出C，在求出AC，由$\frac{AC}{sin∠ABC}=2R$，∴$R=\sqrt{\frac{7}{3}}$，即可得△ABC的外接圆的面积．

解答 解：连结BD，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=5-4cos∠BAD，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=13-12cos∠BCD．
∴5-4cos∠BAD=13-12cos∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，∴cos∠BAD=-cos∠BCD．
∴cos∠BAD=-$\frac{1}{2}$．                                                             
∴∠BAD=120°，∠BCD=60°
在△ADB中，由余弦定理得DB=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•ADcosA}=\sqrt{7}$
cos$∠ABD=\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin$∠ABD=\frac{\sqrt{21}}{14}$
cos$∠DBC=\frac{B{D}^{2}+B{C}^{2}-D{C}^{2}}{2BD•BC}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin∠DBC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
∴sin∠ABC=sin（∠ABD+∠DBC）=sin∠ABDcos∠DBC+cos∠ABDsin∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
且∠ABC＜90⁰，∴$cos∠ABC=\frac{1}{2}$
由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠ABC}$=$\sqrt{7}$
$\frac{AC}{sin∠ABC}=2R$，∴$R=\sqrt{\frac{7}{3}}$，则△ABC的外接圆的面积为$π×（\sqrt{\frac{7}{3}}）^{2}=\frac{7}{3}π$
故选：D

点评 本题考查了三角恒等变形、正余弦定理，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．