Question

3．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个叙述：
①：$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1?θ∈[0，\frac{2π}{3}）$；
②：$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1?θ∈（\frac{2π}{3}，π]$
③：$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|＞1?θ∈[0，\frac{π}{3}）$；
④：$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|＞1?θ∈（\frac{π}{3}，π]$
其中叙述正确的是（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 利用数量积运算性质、向量夹角公式、三角函数求值即可得出．

解答 解：由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$＞1，化为：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞$-\frac{1}{2}$，即cosθ$＞-\frac{1}{2}$，
∴θ∈$[0，\frac{2π}{3}）$，因此①正确．
由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{2-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$＞1，可得cosθ$＜\frac{1}{2}$，解得θ∈$（\frac{π}{3}，π]$，因此④正确．
综上可得：①④正确．
故选：A．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．