Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点在x轴上，且c=$\sqrt{6}$，又由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点，则有a²＞a＞0且a²-a=6，解可得a的值，即可得椭圆的方程，由椭圆的离心率公式，计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1，
必有m²+2＞0，而m²-4＜0，
其焦点在x轴上，且c=$\sqrt{{（m}^{2}+2）-（{m}^{2}-4）}$=$\sqrt{6}$，
若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1有相同的焦点，
则有a²＞a＞0且a²-a=6，
解可得a=3或-2（舍），
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
则其离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查椭圆、双曲线的标准方程，关键是求出双曲线的焦点坐标．