Question

9．已知函数f（x）=e^x+$\frac{1}{ax}$（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e-1）x-y+2017=0平行．
（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（-∞，0）上的单调性．
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$-x+m+1（m为常数）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂）．?求实数m的取值范围；
?求证：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，作差得到$g（{x_1}）-g（-{x_2}）=g（{x_2}）-g（-{x_2}）={e^{x_2}}-{e^{-{x_2}}}-2{x_2}$，令m（x）=e^x-e^-x-2x（x＞0），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）={e^x}-\frac{1}{{a{x^2}}}$，
∴$f'（1）=e-\frac{1}{a}=e-1$，∴a=1，
∴$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x^2}=\frac{{{x^2}{e^x}-1}}{x^2}$，
令h（x）=x²e^x-1，h'（x）=（2x+x²）e^x，
h（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，0）上单调递减，
所以x∈（-∞，0）时，$h（x）≤h（-2）=\frac{4}{e^2}-1＜0$，
即x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0，
所以函数y=f（x）在x∈（-∞，0）上单调递减．
（Ⅱ）?由条件可知，g（x）=e^x-x+m+1，g'（x）=e^x-1，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
要使函数有两个零点，则g（x）_min=g（0）=m+2＜0，∴m＜-2．
?证明：由上可知，x₁＜0＜x₂，∴-x₂＜0，
∴$g（{x_1}）-g（-{x_2}）=g（{x_2}）-g（-{x_2}）={e^{x_2}}-{e^{-{x_2}}}-2{x_2}$，
令m（x）=e^x-e^-x-2x（x＞0），则m'（x）=e^x+e^-x-2＞0，
所以m（x）＞m（0）即g（x₁）＞g（-x₂）
又g（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．