Question

17．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，E为BC中点．
（1）求证：C₁D⊥D₁E；
（2）若二面角B₁-AE-D₁的大小为90°，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明C₁D⊥D₁E．
（2）求出平面AD₁E的法向量和平面B₁AE的法向量，由二面角B₁AED₁的大小为90°，能求出AD的长．

解答 证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
设AD=a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），
B₁（a，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），E（$\frac{a}{2}$，1，0），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（$\frac{a}{2}$，1，-1），
则$\overrightarrow{{C}_{1}D}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0，
∴C₁D⊥D₁E．…．（5分）
解：（2）设平面AD₁E的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{a}{2}$，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-\frac{a}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}=-ax+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得平面AD₁E的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，a，2a），…..（8分）
设平面B₁AE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x′，y′，z′），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{a}{2}$，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=-\frac{a}{2}{x}^{'}+{y}^{'}=0}\\{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{m}={y}^{'}+{z}^{'}=0}\end{array}\right.$，取x′=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，a，-a）．…..（10分）
∵二面角B₁AED₁的大小为90°，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4+a²-2a²=0，
∵a＞0，∴a=2，即AD=2…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．