Question

数列{a_n}中，对任意n∈N^*，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²等于（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  (2n-1)2

  3

• C、4ⁿ-1
• D、

  4n-1

  3

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n≥2时，由a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1可得a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，因此a_n=2^n-1，当n=1时也成立．再利用等比数列的前n项和公式可得a₁²+a₂²+…+a_n²．

解答： 解：当n≥2时，由a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1可得a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1，
∴a_n=2^n-1，当n=1时也成立．
∴

a

2 n

=4^n-1．
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=

4n-1

4-1

=

4n-1

3

．
故选：D．

点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．