Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆C₁：x²+y²=a²+b²为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为

3

2

，且经过点（0，1）．
（1）请求出椭圆C的标准方程；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C₁所截得的弦长为2

2

，求实数m的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出a，b．
（2）由（1）知，椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1，圆C₁的方程为x²+y²=5．设直线l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．

解答： 解：（1）记椭圆C的半焦距为c，
由题意，得b=1，

c

a

=

3

2

，c²=a²+b²，
解得a=2，b=1，
故椭圆C的标准方程为：

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知，椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1，圆C₁的方程为x²+y²=5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0．
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组

y=kx+m x2 4 +y2=1

（*）有且只有一组解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
从而△=（8km）²-4（1+4k²）（ 4m²-4）=0．
化简，得m²=1+4k²．①
因为直线l被圆x²+y²=5所截得的弦长为2

2

，
所以圆心到直线l的距离d=

5-2

=

3

．
即

|m|

k2+1

=

3

．    ②
由①②，解得k²=2，m²=9．
因为m＞0，所以m=3．

点评：本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题．