Question

对任意的实数x恒有log_a（sinx+cosx）²≥-2，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：令t=（sinx+cosx）²=1+sin2x，由三角函数的知识可知t∈（0，2]，由对数函数的单调性结合分类讨论可得．

解答： 解：令t=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
由三角函数的知识可知t∈（0，2]，
当a＞1时，由对数函数的单调性可知log_a（sinx+cosx）²无最小值，故不合题意；
当0＜a＜1时，对数函数的单调性可知log_a（sinx+cosx）²有最小值log_a2，
只需log_a2≥-2即可，解得0＜a≤

2

2

综上可得实数a的取值范围为：(0，

2

2

]
故答案为：(0，

2

2

]

点评：本题考查三角函数公式，涉及对数函数的单调性和恒成立问题，属基础题．