Question

已知曲线f（x）=x³+x-2在P₀处的切线l₁平行于直线4x-y-1=0，且点P₀在第三象限．
（1）求P₀点的坐标；
（2）求出过点P₀的所有切线的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）求出导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两直线平行的条件，得到m的方程，解得m，即可得到切点坐标；
（2）设出切点，求出切线的斜率，求得切线方程，代入点P₀（-1，-4），再由切点在曲线上，满足曲线方程，联立方程组，解得切点，即可得到切线方程．

解答： 解：（1）f（x）=x³+x-2的导数为
f′（x）=3x²+1，
设P₀（m，n），则f′（m）=3m²+1，
由于在P₀处的切线l₁平行于直线4x-y-1=0，
3m²+1=4，解得，m=±1，
点P₀在第三象限，则m=-1，n=-1-1-2=-4，
则有P₀（-1，-4）；
（2）设切点Q（s，t），
则由于f′（x）=3x²+1，则切线的斜率为k=3s²+1，
切线方程为y-t=（3s²+1）（x-s），
由切线经过点P₀（-1，-4），则-4-t=（3s²+1）（-1-s），①
又t=s³+s-2②
②代入①得，（s+1）²（2s-1）=0，
解得，s=-1或

1

2

，
则有切点为（-1，-4）或（

1

2

，-

11

8

）．
则切线方程为4x-y=0，或7x-4y-9=0．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，考查切线方程的求法，注意在某点处和过某点的切线的区别，属于基础题和易错题．