Question

下列命题正确的是

 

．
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件；
③

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充要条件；
④在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，利用一个命题的逆命题与其否命题为等价命题，可判断①；
②，利用“充分必要条件”的概念，从“充分性”与“必要性”两个方面可判断②；
③，由

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充分不必要条件，可判断③；
④，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，可判断④．

解答： 解：对于①，由于一个命题的逆命题与其否命题为等价命题（同真同假），
故一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真，①正确；
对于②，“am²＜bm²”⇒“a＜b”，充分性成立，反之，若“a＜b”，则“am²＜bm²”不成立（当m²=0时，am²=bm²），即必要性不成立
所以，“am²＜bm²”是“a＜b”的充分不必要条件，②错误；
对于③，

x＞1 y＞2

⇒

x+y＞3 xy＞2

，充分性成立，反之，不然，如

1 2 +5＞3 1 2 ×5＞2

，不能推出

1 2 ＞1 5＞2

，即必要性不成立；
所以，

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充分不必要条件，③错误；
对于④，在△ABC中，“∠B=60°”⇒“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”，充分性成立；
反之，若“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”，则“∠B=60°”，必要性成立；
故在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题之间的关系及真假判断，突出考查充分必要条件的概念及应用，属于中档题．