Question

等腰Rt△ACB，AB=2，∠ACB=

π

2

．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：根据题意，结合线面垂直的判定与性质，证出AB⊥平面CMH，从而AM是三棱锥C-HAM的高，得V_C-HAM=

1

3

S_△CMH×AM，因此当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大．设∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等积转换和Rt△ABD∽Rt△AHM，算出CH、HM关于θ的式子，从而得到S_△CMH=

1

2

CH•HM=

2 tanθ

4+2tan2θ

，最后根据基本不等式得当tanθ=

2

时，S_△CMH达到最大值，根据同角三角函数的基本关系算出cosθ=

3

3

，从而得出CD的长为

6

3

，即为当三棱锥C-HAM的体积最大时CD的长．

解答： 解：根据题意，得
∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱锥C-HAM的体积V=

1

3

S_△CMH×AM=

1

3

S_△CMH
由此可得，当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大
设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=

2

2

AB=

2

可得CD=

2

cosθ，BD=

2

sinθ
Rt△ACD中，根据等积转换得CH=

AC×CD

AD

=

2cosθ

2+2cos2θ

Rt△ABD∽Rt△AHM，得

HM

BD

=

AB

AD

，
∴HM=

AB×BD

AD

=2×

2 sinθ

2+2cos2θ

因此，S_△CMH=

1

2

CH•HM=2×

2 sinθcosθ

2+2cos2θ

=2×

2 tanθ

4+2tan2θ

∵4+2tan²θ≥4

2

tanθ，
∴S_△CMH=2×

2 tanθ

4+2tan2θ

≤2×

2 tanθ

4 2 tanθ

=

1

2

，
当且仅当tanθ=

2

时，S_△CMH达到最大值，三棱锥C-HAM的体积同时达到最大值．
∵tanθ=

2

＞0，可得sinθ=

2

cosθ＞0
∴结合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=

1

3

，可得cosθ=

3

3

（舍负）
由此可得CD=

2

cosθ=

6

3

，
即当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题给出旋转体中，求三棱锥的体积最大值时CD的长，着重考查了线面垂直的判定与性质、基本不等式求最值、相似三角形中比例线段的计算和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．