Question

2．若a∈R⁺，则当a+$\frac{1}{9a}$的最小值为m时，不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1的解集为{x|x＜-3或x＞-1}．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a+$\frac{1}{9a}$的最小值m，再代入不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1，化为等价的不等式x²+4x+3＞0，求出解集即可．

解答 解：∵a∈R⁺，∴a+$\frac{1}{9a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{9a}}$=$\frac{2}{3}$，
当且仅当a=$\frac{1}{9a}$，即a=$\frac{1}{3}$时取“=”；
∴a+$\frac{1}{9a}$的最小值为m=$\frac{2}{3}$；
∴不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1为：
（$\frac{2}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1，
等价于x²+4x+3＞0，
解得x＜-3或x＞-1；
故所求不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-1}．
故答案为：{x|x＜-3或x＞-1}．

点评 本题考查了利用基本不等式求最值以及指数不等式的解法与应用问题，是基础题目．