Question

20．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）$•\overrightarrow{OP}$=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称⇒$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，∴函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象关于点P（2，1）对称，
∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$，
则$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$，∴（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）$•\overrightarrow{OP}$=2×5=10．
故选：D

点评 本题考查了函数的对称性，及向量的数量积运算，属于中档题．