题目内容
4．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为$\frac{1}{2}$．直线l：y=kx-4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
分析 （Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．
（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，然后求解k的范围即可．
解答 解：（Ⅰ）设M点的坐标为（x0，y0），由抛物线的焦半径公式可得：x0+$\frac{p}{2}$=3，
x02+y02=9，y02=2px0，解得x0=1，y0=±2$\sqrt{2}$，p=4，
所以抛物线C1：y2=8x，…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），
由椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，
所以椭圆C2半焦距c=2，m2-n2=c2=4，
因为椭圆C2的离心率为$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=4，n=2$\sqrt{3}$，
所以椭圆C2的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；…6分
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得（4k2+3）x2-32kx+16=0
由韦达定理得：x1+x2=$\frac{32k}{4{k}^{2}+3}$，x1x2=$\frac{16}{4{k}^{2}+3}$…（8分）
由△＞0，即（-32k）2-4×16（4k2+3）＞0，k＞$\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$…①…（10分）
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-4）•（kx2-4）=（k2+1）x1x2-4k（x1+x2）+16
=（k2+1）×$\frac{16}{4{k}^{2}+3}$-4k×$\frac{32k}{4{k}^{2}+3}$+16
=$\frac{16（4-3{k}^{2}）}{4{k}^{2}+3}$＞0，解得：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…②
由①、②得实数k的范围是-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴k的取值范围（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．…（13分）
点评 本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，韦达定理及向量的坐标运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
智能训练练测考系列答案| 项目 | 半程马拉松 | 10公里健身跑 | 迷你马拉松 |
| 人数 | 2 | 3 | 5 |
（1）从10人中选出2人，求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率；
（2）从10人中选出2人，设X为选出的两人赛程距离之和，求随机变量X的分布列．
| A． | 系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 | B． | 系统抽样、分层抽样、简单随机抽样 | ||
| C． | 分层抽样、简单随机抽样、系统抽样 | D． | 分层抽样、系统抽样、简单随机抽样 |
某几何的三视图如图所示（俯视图为等腰直角三角形），则该几何体的体积是（ ）| A． | 1 | B． | $\frac{11}{6}$ | C． | $\frac{5}{6}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（ ）| A． | 17 | B． | 22 | C． | 8 | D． | 22+2 |