已知抛物线C1:y2=2px的焦点为F.抛物线上存在一点G到焦点的距离为3.且点G在圆C:x2+y2=9上．(Ⅰ)求抛物线C1的方程,(Ⅱ)已知椭圆C2:$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1的一个焦点与抛物线C1的焦点重合.且离心率为$\frac{1}{2}$．直线l:y=kx-4交椭圆C2于A.B两个不同的点.若原点O在以线段AB为直径的圆� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x²+y²=9上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合，且离心率为$\frac{1}{2}$．直线l：y=kx-4交椭圆C₂于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．

分析（Ⅰ）设点G的坐标为（x₀，y₀），列出关于x₀，y₀，p的方程组，即可求解抛物线方程．
（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，然后求解k的范围即可．

解答解：（Ⅰ）设M点的坐标为（x₀，y₀），由抛物线的焦半径公式可得：x₀+$\frac{p}{2}$=3，
x₀²+y₀²=9，y₀²=2px₀，解得x₀=1，y₀=±2$\sqrt{2}$，p=4，
所以抛物线C₁：y²=8x，…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C₁的焦点F（2，0），
由椭圆C₂的一个焦点与抛物线C₁的焦点重合，
所以椭圆C₂半焦距c=2，m²-n²=c²=4，
因为椭圆C₂的离心率为$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=4，n=2$\sqrt{3}$，
所以椭圆C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；…6分
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得（4k²+3）x²-32kx+16=0
由韦达定理得：x₁+x₂=$\frac{32k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{16}{4{k}^{2}+3}$…（8分）
由△＞0，即（-32k）²-4×16（4k²+3）＞0，k＞$\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$…①…（10分）
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-4）•（kx₂-4）=（k²+1）x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16
=（k²+1）×$\frac{16}{4{k}^{2}+3}$-4k×$\frac{32k}{4{k}^{2}+3}$+16
=$\frac{16（4-3{k}^{2}）}{4{k}^{2}+3}$＞0，解得：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…②
由①、②得实数k的范围是-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴k的取值范围（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．…（13分）

点评本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，韦达定理及向量的坐标运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案

项目	半程马拉松	10公里健身跑	迷你马拉松
人数	2	3	5

	A．	系统抽样、简单随机抽样、分层抽样		B．	系统抽样、分层抽样、简单随机抽样
	C．	分层抽样、简单随机抽样、系统抽样		D．	分层抽样、系统抽样、简单随机抽样

试题分类