Question

13．已知函数f（x）=b+log_ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（16，3），且点A（-4，-1）关于坐标原点O的对称点B也在f（x）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）+f（1-x），求函数g（x）的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）求出A关于O对称的点（4，1），将（4，1），（16，3）分别代入f（x），解方程可得a，b的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，由对数的运算法则和基本不等式，即可得到所求最大值和相应的x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=b+log_ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（16，3），
可得b+log_a16=3，
点A（-4，-1）关于坐标原点O的对称点B（4，1）也在f（x）的图象上，
可得b+log_a4=1，
解得a=2，b=-1，
则f（x）=log₂x-1；
（2）g（x）=f（x）+f（1-x）=log₂x+log₂（1-x）-2（0＜x＜1），
=log₂[x（1-x）]-2≤log₂（$\frac{x+1-x}{2}$）²-2=-2-2=-4，
当且仅当x=1-x，即x=$\frac{1}{2}$时，g（x）取得最大值，且为-4．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查函数的最值的求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．