Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

5

3

，3a_n+1=a_n+2．n∈N^*
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（Ⅱ）若a₁+a₂+…+a_n＜100，求最大的正整数n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由3a_n+1=a_n+2得3（a_n+1-1）=a_n-1，所以{a_n-1}是等比数列．
（Ⅱ）确定数列{a_n}的通项，再求和，利用a₁+a₂+…+a_n＜100，求最大的正整数n．

解答： （Ⅰ）证明：∵3a_n+1=a_n+2，
∴3（a_n+1-1）=a_n-1，
∵a₁=

5

3

，
∴a₁-1=

2

3

，
∴数列{a_n-1}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：a_n-1=

2

3

•3^1-n，
∴a_n=2•3^-n+1，
∴a₁+a₂+…+a_n=n+2（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=n+1-

1

3n

，
由n+1-

1

3n

＜100，可得最大的正整数n=99．

点评：本题考查等比数列的证明和数列通项公式的求法，考查数列的求和．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．