Question

已知f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁、a₂、a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=f_n（

1

3

），判断数列{b_n}的单调性，并且证明．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知条件，利用递推思想能够依资次求出a₁、a₂、a₃的值．
（II）由题意知（-1）ⁿ⁺¹a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n，由此能求出a_n=2n-1．
（III）由fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，利用错位相减法能证明fn(

1

3

)是单调增数列．

解答： 解：（I）∵f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n（n∈N^*）．
∴f₁（-1）=-a₁=-1，解得a₁=1，（1分）
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，解得a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，解得a₃=5．（3分）
（II）∵f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
f_n（-1）=（-1）ⁿ•n（n∈N^*）．
∴（-1）ⁿ⁺¹a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）
=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n，
∴a_n+1=（n+1）+n，
即a_n+1=2n+1（n≥1）
当n=1时，a₁=1
所以对于任意的n=1，2，3…，a_n=2n-1．（8分）
（III）数列{b_n}，证明如下：
∵fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，
∴fn(

1

3

)=

1

3

+3(

1

3

)2+5(

1

3

)3+…+(2n-1)(

1

3

)n①
fn+1(

1

3

)-fn(

1

3

)=(2n+1)(

1

3

)n+1＞0，
∴数列{b_n}是单调增数列．（12分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的单调性的判断并证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．