题目内容
设函数f（x）=|x+2|+|2x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）当a＜-4时，存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）当a＜-4时，存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，求实数a的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法
专题：不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）当a=2时，去掉绝对值化简函数的解析式为f（x）=
，由此求得函数y=f（x）的值域．
（Ⅱ）当a＜-4时，f(x)-x=
，由题意可得所以4≥[f（x）-x]min=-2-a，由此求得实数a的取值范围．
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（Ⅱ）当a＜-4时，f(x)-x=
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解答：
解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x+2|+2|x-1|=
，
所以f（x）min=f（1）=3，函数f（x）没有最大值，
所以函数y=f（x）的值域是[3，+∞）．
（Ⅱ）当a＜-4时，f(x)-x=
，
因存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，
所以4≥[f（x）-x]min=-2-a，即-6≤a＜-4，所以实数a的取值范围是[-6，-4）．
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所以f（x）min=f（1）=3，函数f（x）没有最大值，
所以函数y=f（x）的值域是[3，+∞）．
（Ⅱ）当a＜-4时，f(x)-x=
|
因存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，
所以4≥[f（x）-x]min=-2-a，即-6≤a＜-4，所以实数a的取值范围是[-6，-4）．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
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