题目内容
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35-75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2013年3月每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），（Ⅰ）求该组数据的平均数和方差；
（Ⅱ）记ξ表示两天中空气质量为二级的天数．求ξ的分布列及期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）利用茎叶图能求出该组数据的平均数和方差．
（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．
（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．
解答：
（本小题满分12分）
（Ⅰ）平均数为：
=
=61…（3分）
方差为：
S2=
[(32-61)2+(47-61)2+(42-61)2+(78-61)2+(71-61)2+(96-61)2]=
×2612≈435.3
…（6分）
（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，
P（ξ=0）=
=
，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
=
，
故ξ分布列如下表：
∴期望值Eξ=0×
+1×
+2×
=1（天）
（Ⅰ）平均数为：
| 32+47+42+78+71+96 |
| 6 |
| 366 |
| 6 |
方差为：
S2=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
…（6分）
（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，
P（ξ=0）=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
P（ξ=1）=
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
P（ξ=2）=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
故ξ分布列如下表：
| ξ | 0 | 1 | 2 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
点评：本题考查平均数和方差的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．解题时要注意茎叶图的合理运用．
练习册系列答案
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| A、（-2，2） |
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| D、（-∞，-2）∪（0，2） |
