Question

如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD为正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E为BC的中点，M为侧棱PB上一点．
（Ⅰ）求直线PC与平面PAD所成的角；
（Ⅱ）是否存在点M使直线BD⊥平面MAE？若存在，求出

PM

MB

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱锥的结构特征

专题：计算题,存在型,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，由面面垂直的性质定理得到，∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．再在直角三角形PCF，求出∠CPF；
（Ⅱ）假设存在点M，使直线BD⊥平面MAE．由于AE⊥BD，只需BD⊥OM，在△PBD中，由余弦定理求出cos∠PBD，再通过直角三角形BOM，求出BM，PM即可．

解答： 解：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CF⊥侧面PAD，
于是∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．
由条件得，CF=1，
在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，
∴PF=

3

，
在直角△PFC中，tan∠CPF=

CF

FP

=

3

3

，
∴∠CPF=30°，
即直线PC与平面PAD所成的角为30°．
（Ⅱ）假设存在点M使直线BD⊥平面MAE．
要使BD⊥平面MAE，∵ABED为正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，
在△PBD中，PD=1，PB=BD=

2

，
cos∠PBD=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

，
∴BM=

OB

cos∠PBD

=

2 2

3 4

=

2 2

3

，PM=PB-BM=

2

3

，
故存在点M使直线BD⊥平面MAE，且

PM

MB

=

1

2

．

点评：本题考查空间中直线与平面的位置关系，以及空间角的大小，考查面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定和性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题．