Question

设首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₇=-2，S₅=30．
（Ⅰ）求a₁及d；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式，并b_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₇=-2，S₅=30，建立方程组，即可求a₁及d；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

=12-2n，整理有b₁+2b₂+…+nb_n=n²（12-2n），再写一式，两式相减，求出数列{b_n}的通项公式，利用单调性求出b_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知

5a1+ 5×4 2 d=30 a1+6d=-2

得

a1=10 d=-2.

…（5分）
（Ⅱ）a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

=12-2n，
∴b₁+2b₂+…+nb_n=n²（12-2n），
n=1时，b₁=10；
n≥2时，b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n-1）²（14-2n），
∴nb_n=-6n²+30n-14，
∴b_n=-6n+30-

14

n

=30-(6n+

14

n

)，
由n∈N^*知，当n≥2时，bn=30-(6n+

14

n

)为递减数列，
又b₁=10，b2=30-(12+

14

2

)=11，
∴b_n的最大值是11．…（14分）

点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．