Question

14．如图，已知正三棱锥P-ABC中，底面是正三角形，P在底面内的射影是正三角形的中心．若AB=1，侧面和底面所成的角是60°，则此棱锥的表面积是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{5\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 过C作CD⊥AB，交AB于点D，过P作PE⊥平面ABC，交CD于点E，求出DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，PD=2DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此棱锥的表面积S=S_△ABC+3S_△PAB，由此能求出结果．

解答 解：∵正三棱锥P-ABC中，底面是正三角形，P在底面内的射影是正三角形的中心．
AB=1，侧面和底面所成的角是60°，
∴过C作CD⊥AB，交AB于点D，过P作PE⊥平面ABC，交CD于点E，
则D为AB中点，E为△ABC重心，∠PDE=60°，
∴DE=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，PD=2DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴此棱锥的表面积：
S=S_△ABC+3S_△PAB
=$\frac{1}{2}×AB×CD+3×\frac{1}{2}×AB×PD$
=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．