Question

13．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：元）的数据如表：

时间t	50	110	250
种植成本Q	150	108	150

（1）根据上表数据判断，函数Q=at+b，Q=at²+bt+c，Q=a•b^t，Q=a•log_bt中哪一个适宜作为描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系？简要说明理由；
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

Answer 1

分析 （1）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at²+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（50，150），（110，108），（250，150）代入Q，即得函数解析式；
（2）由二次函数的图象与性质可得，函数Q在t取何值时，有最小值．

解答 解：（1）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而函数Q=at+b，Q=a•b^t，Q=a•log_bt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以，选取二次函数Q=at²+bt+c进行描述．
将表格所提供的三组数据（50，150），（110，108），（250，150）
分别代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2500a+50b+c=150}\\{12100a+110b+c=108}\\{62500a+250b+c=150}\end{array}\right.$，通过计算得a=$\frac{1}{200}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=$\frac{425}{2}$
故西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数得到Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$；
（2）Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$=$\frac{1}{200}$（t-150）²+100，
∴t=150（天）时，西红柿种植成本Q最低，为100元/10kg．

点评 本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．