Question

16．已知函数f（x）=ax³-x²+x+2，g（x）=$\frac{elnx}{x}$，若对于?x₁∈（0，1]，?x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 求出g（x）的最大值，问题转化为ax³-x²+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$在（0，1]恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$，x∈（0，1]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：g′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，而x∈（0，1]，
故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，
故g（x）在（0，1]递增，
g（x）_max=g（1）=0，
若?x₁∈（0，1]，?x₂∈（0，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），
只需f（x）_min≥g（x）_max即可；
故ax³-x²+x+2≥0在（0，1]恒成立，
即a≥$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$在（0，1]恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$，x∈（0，1]，
h′（x）=$\frac{-（x-1）^{2}+7}{{x}^{4}}$＞0，
h（x）在（0，1]递增，
故h（x）_max=h（1）=-2，
故a≥-2，
故答案为：[-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．