Question

若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，
（1）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，求函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（2）已知函数f（x）=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，在（1）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，可得g（x）+g（-x）=2，根据x∈（0，+∞）时的解析式，即可求得结论；
（2）对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，等价于g（x）_max＜f（t）_min，由此可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，
∴当x＜0时，g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1，
即g（x）=-x²+ax+1，x＜0；
（2）由题设，∵函数f（x）=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2
∴m=1，
∵f（t）=

t2+tm+m

t

=t+

m

t

+m=t+

1

t

+1≥2

t• 1 t

+1=3，其最小值为f（1）=3，
g（x）=-x²+ax+1=-（x-

a

2

）²+

a2

4

+1，
①当

a

2

＜0，即a＜0时，g（x）_max=

a2

4

+1＜3，即a²＜8，解得-2

2

＜a＜0，
②当

a

2

≥0，即a≥0时，g（x）_max＜1＜3，
∴a∈[0，+∞），
由①、②得a＞-2

2

，
故实数a的取值范围是a＞-2

2

．

点评：本题主要考查函数的对称性，考查函数的解析式，考查恒成立问题，正确求出函数的最值是关键．综合性较强，运算量较大．